Simon Singh: Fermats letzter Satz

Cubum autem in duos cubos aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos et generaliter nullam in infinitum quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. [1]

Pierre de Fermat 1907-1665 Bildquelle: [B]
Pierre de Fermat
1907-1665
Bildquelle: [B]
Der Franzose Pierre de Fermat abeitete Anfang des 17. Jhdts als Richter, in seiner freien Zeit jedoch beschäftigte er sich intensiv mit mathematischen Fragen. Insbesondere schien im wohl das Stellen und Lösen von mathematischen Problemen und Fragen Spaß zu machen, wobei er jedoch (leider) weniger Wert legte auf die in der Mathematik unabdingliche, strenge Beweisführung der Richtigkeit der aufgestellten Sätze.

Fermat hinterließ der Welt ein Rätsel, das diese über 350 Jahre lang nicht lösen konnte, obwohl sich fürwahr eine Menge genialer Mathematiker damit befassten. Kleine Schritte hin zur Lösung, Teillösungen wurden erreicht, das Ziel aber, die Behauptung, es gäbe für kein n>2 ein Zahlentripel, für das gilt:

a^n + b^n = c^n

zu beweisen, schlugen fehl.

Für n=1 ist die Lösung trivial, die addition natürlicher Zahlen gibt immer wieder eine natürliche Zahl, für n=2 kann man beweisen, daß es ebenfalls unendlich viele Zahlenkombinationen gibt, die diese Gleichung erfüllen, man nennt sie  pythagoreische Zahlentripel. Wohl jeder dürft das erste davon kennen: 3, 4 und 5 (3² + 4² = 5²), das ab und an auch noch verwendet wird, um rechte Winkel zu konstruieren (Satz des Pythagoras).

Fermat also behauptete, einen Beweis, einen wunderbaren Beweis gar, für die Nichtexistenz von Zahlentripeln zu haben, falls n >2 ist, nur leider böte der Seitenrand zu wenig Platz (Fermat skizzierte seine Beweise oft auf den Seitenrändern seines Buches), eine Behauptung, die angesichts der Jahrhunderte, die ins Land gehen mussten, bis bewiesen war, daß diese Behauptung stimmt, fast schon ein wenig höhnisch wirkt….


Singh schildert nun in seinem Buch die Geschichte dieses Fermatschen Satzes und seines Beweises durch Wiles im Jahre 1995. Man kann Singhs Buch auch getrost als eine erste Einführung in die Zahlentheorie ansehen, er fängt in seinem Betrachtungen bei den alten Griechen an, erläutert das Wesen der mathematischen Beweisführung, die sich so grundlegend vom Alltagsbegriff bzw. auch dem naturwissenschaftlichen Gebrauch des Worts unterscheidet. Ein mathematischer Beweis, einmal erbracht, ist für immer und ewig und überall gültig, der „Beweis“ einer z.B. physikalischen Theorie nur bis zu deren Widerlegung….

Der Autor geht auch kurz auf die Rolle von Mathematikerinnen in dieser Wissenschaft ein: es gibt sie kaum. Nur wenige Frauen schafften es, sich gegen das ignorante männliche Geschlecht durchzusetzen, das ihnen jahrhundertelang per def und Macht einfach die Fähigkeit, mathematisch denken können, absprach… [3]. Aber ihre Rolle bei Fermats Satz ist nicht wegzudenken…

Kleine Fortschritte werden erzielt, sehr kleine in Bezug auf die absolute Wahrheit, die ein allgemeiner mathematischer Satz darstellt. Und dann kam Wiles. Als Kind fasziniert von dieser so einfach aussehenden Vermutung, sollte er ihr für ein halbes Leben erliegen. Er studierte Mathematik, war extrem begabt für dieses Fach, wurde Professor, kam nach Princeton (wie schon Villani [4] es beschreibt) und widmete sich dort (bis auf die Pflichtveranstaltungen, die er besuchen/halten musste) ganz und gar seiner Frage. Sieben Jahre konzentrierte sich Wiles auf das Problem, nahm an den üblichen Veranstaltungen (man sollte nicht denken, das sich Vergraben sei das Normverhalten von Mathematikern, im Gegenteil, sie sind unter ihresgleichen ein geselliges Trüppchen….) nicht teil, lebte zurückgezogen, niemand wusste, ahnte, an welchem Problem er in Wirklichkeit arbeitete. Psychologisch ist das sicherlich eine sehr interessante Verhaltensweise, wenn man das mit anderen Forschern vergleicht, die ja auch an wichtigen Probleme arbeiten, ohne dies so geheim zu halten…

Letztendlich glaubt Wiles, den Beweis geführt zu haben, er zieht einen Freund ist Vertrauen, zusammen gehen sie die Beweisführung durch und finden keinen Fehler. Auf einer Konferenz schließlich läßt Wiley die Katze aus dem Sack und erntet „standing ovations“. Noch ist der Beweis nicht anerkannt, dazu muss er in einer renommierten mathematischen Zeitschrift erscheinen. Er wird auch eingereicht und die Redaktion setzt mehrere Peers an den Aufsatz Wileys. Es treten Fragen auf, die zumeist schnell geklärt werden können – bis auf eine. Und diese eine Frage ist hartnäckig, keine Petitesse, etwas Grundlegendes..

Im Lauf der nächsten Wochen, Monate (die mathematisch Gemeinde wartet sehnrsüchtig auf die Papiere) wird die Situation brenzlig, Gerüchte tauchen auf, Halbwahrheiten, Wiles hat sich wieder zurückgezogen und brütet über seinen Fehler. Schließlich muss er noch einen Kollegen hinzuziehen – als Diskussionpartner, allein: es nutzt nichts. Wiley ist letztlich bereit, sich selbst sein Scheitern einzugestehen.

Vielleicht ist dieses „Es-ich-selbst-Eingestehen“ (Vorsicht! Küchenpsychologie!) der Moment, in dem die in dieser psychologisch sehr schwierigen Situation bestehende Blockade bei Wiles aufbricht. Er sitzt noch einmal über den Papieren, sinniert und überblickt seine Arbeit der letzten Jahre und auf einmal: „…. war ein kleiner, direkter Anruf nötig gewesen. Die berühmte direkte Leitung, wenn Sie einen Anruf vom Gott der Mathematik erhalten und eine Stimme in Ihrem Kopf widerhallt. Das ist ganz selten, zugegeben!”  so beschreibt es Villani [4], dem bei seiner Arbeit ähnliches geschah. Alles war da, alles war vorhanden, er musste nur die Sachen richtig verknüpfen, richtig zusammenbringen….


Die Rezeption des Beweises in der Öffentlichkeit vermittelt im Grunde einen falschen Eindruck. Wiles hat in erster Linie nicht den Satz von Fermat bewiesen, sondern eine (mathematisch viel wichtigere) Vermutung, die zwei junge japanische Mathematiker, Goro Shimura und Yutaka Taniyama, Ende der 50er Jahre aufstellten und die bis dato nicht bewiesen war, obwohl es mittlerweile eine Vielzahl von mathematischen Arbeiten gab, die da anfingen mit: „Unter der Voraussetzung, daß die Vermutung von Shimura und Taniyama gilt, folgt…“. Die Vermutung besagt, daß es eine ein-eindeutige Beziehung gibt zwischen jeder elliptischen Funktionen und einer dazu entsprechenden Modularfunktion (was immer das auch ist….). Anderen Forschern war es gelungen, auf der anderen Seite einen Zusammenhang zwischen dem Fermat-Satz und elliptischen Funktionen herzustellen. Unter der (zu beweisend falschen) Annahme, es gäbe Zahlentripel für n>2 kann man zeigen, daß der daraus ableitbare elliptische Kurve keiner Modularfunktion entspricht. Gelingt es also, die Richtigkeit der Shimura-Taniyama-Vermutung zu beweisen, ist implizit auch der Satz von Fermat bewiesen (Beweis durch Kontraposition).. wer dies genauer nachlesen will und noch halbwegs verständlich, sei auf [2] verwiesen. Und genau dies gelang Wiley letztlich, seine Leistung ging als Beweis des Fermat´schen Satzes um die Welt, der Anteil von Goro Shimura und Yutaka Taniyama daran kam unter die Räder….


Simon Singh ist mit „Fermats letzter Satz“ ein spannendes, gut lesbares Buch zur Geschichte eines der ganz großen mathematischen Rätsel gelungen, das zugleich über die Grenze dieses eng definierten Projekts hinausreicht.

Und doch: it´s a matter of trust.

So kann man auf S. 49 (meiner Ausgabe) im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras folgendes lesen: „Pythagoras` Beweis ist unerschütterlich. Er zeigt, daß sein Satz für jedes rechtwinklige Dreieck im Universum gilt.“ … aber ich schau auf meinen Globus, der sich dreht und sehe, wenn ich nur fein genug schaute, schon auf diesem einen Globus praktisch unendlich viele Dreiecke mit rechten Winkeln, deren Winkelsumme viel, viel größer als die 180°, die der Satz des Pythagoras behauptet. Wie kann so ein ungenau formulierter Satz nur die Korrekturen des Buches überstehen? Es ist garnicht so sehr diese eine, nicht korrekte, ach was, falsche Aussage, es ist das Vertrauen in alle Aussagen des Buches, das derart angegriffen wird. Und das ist schade… und unnötig.

Bleibt nur noch mein eigener Zweifel festzuhalten. Fermat hat im frühen 17. Jhdt eine Behauptung aufgestellt, deren Beweis er nicht dokumentiert hat, sondern nur behauptet. Nach Singh [S. 144] zeigte Ernst Eduard Kummer, ein deutscher Zahlentheoretiker, Mitte des 19. Jhdts (!), daß „…. ein vollständiger Beweis von Fermats letztem Satz mit den zeitgenössischen Verfahren der Mathematik noch nicht gelingen konnte.“ (–> it´s a matter of trust: daß diese Aussage so absolut z.B. auch stimmt) Ende des 20. Jhdt brauchte ein genialer Mathematiker wie Wiles sieben Jahre intensivster Arbeit, musste zum Teil eine völlig neue Mathematik entwickeln, um mit einem (indirekten) Ansatz den Fermatschen Satz endlich zu beweisen. Von den vielen Mathematikern, die sich zwischenzeitlich vergeblich mit dem Rätsel befassten, ganz zu schweigen…. Es fällt mir einfach schwer, zu glauben, daß Fermat wirklich einen Beweis für seine Vermutung hatte.

Trotzdem bleibt als Facit meiner Besprechung die Feststellung, daß Singhs Buch ein spannender, unterhaltsamer und intelligenter Ausflug in die Mathematikgeschichte rund um den letzten Fermatschen Satz ist, der des Lesens in jedem Fall lohnt.

Links und Anmerkungen:

[1] übersetzt: Es ist unmöglich, eine dritte Potenz in die Summe zweier dritter Potenzen zu zerlegen, eine vierte Potenz in zwei vierte Potenzen, oder allgemein irgendeine Potenz größer als zwei in Potenzen gleichen Grades. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen. zitiert nach [2]
[2] Jürg Kramer: Der große Satz von Fermat – die Lösung eines 300 Jahre alten Problems, in: https://www.mathematik.de/ger…
[3] betrachtet man die Spielzeugabteilungen in Kaufhäusern, so kann man diese geschlechterspezifische Rollenzuordnung noch heute feststellen: Barbie soll gefälligst ihre Puppen anziehen und bekochen, währenddessen Ken mit seinem Fischer-Baukasten die Welt konstruiert…..
[4] Cedric Villani: Das lebendige Theorem,  https://radiergummi.wordpress.com/2014/06……

[B]ildquellen: Portraits Fermat: Wiki (http://commons.wikimedia.org/wiki/..) , See page for author [Public domain], via Wikimedia Commons

Simon Singh
Fermats letzter Satz
Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels
Übersetzt aus dem Englischen von Klaus Fritz
Originalausgabe: Fermats last Theorem, London 1997
diese Ausgabe: dtv, Jubiläums-Edition 50 Jahre, Softcover, ca. 360 S., 2011

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11 Kommentare zu „Simon Singh: Fermats letzter Satz

  1. Singhs Buch habe ich damals (bei Ersch. der dt. Ausgabe) auch mit großem Interesse gelesen. Ist wirklich toll geschrieben, auch für Nicht-Mathematiker.
    Andrew Wiles selbst war auf das Werk aber gar nicht gut zu sprechen. Das hat er mir in einem Interview erzählt, das ich anlässlich seiner Ehrung auf dem Internationalen Mathematiker Kongress in Berlin 1998 mit ihm für einen Beitrag in der rbb-Abendschau führen durfte. (Nebenbei: diese gesonderte Ehre wurde ihm zuteil, weil er für die Fields-Medaille (gewissermaßen der Nobelpreis f. Mathematik) schon zu alt war.
    Ihm war Singhs Beschreibung zu reißerisch, zu oberflächlich und, das war wohl ausschlaggebend, er fühlte seine Persönlichkeit falsch dargestellt.
    Singh ist fest verwurzelt in einer typisch britischen Tradition des Wissenschaftsjournalismus. Inhalt wird dort hin und wieder stark vereinfacht zugunsten flotter Schreibe. Für den Leser, zumal den fachlichen Laien ist das gut, für den Spezialisten eher ein problematisch. Aber, genau das ist und bleibt das große Dilemma solcher Bücher, das sollte der Leser niemals ganz vergessen.
    Doch, wie gesagt, es liest sich toll, ist spannend geschrieben und lohnt die Lektüre. Auch wenn es schon ein paar Jährchen auf dem Buckel hat.
    Danke also, für deinen Beitrag.
    lg Jochen

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    1. erst einmal ganz herzlichen dank für deinen ausführlichen und informativen kommentar! das sich wiles falsch dargestellt fühlt, kann ich nachvollziehen, ich habe mir beim lesen auch des öfteren gedacht, was das für ein typ sein muss, der sich da so verbissen und eigenbrötlerisch, angstvoll darauf bedacht, daß nur ja niemand von seiner forschung erfährt, geradezu arkan und klandestin, in dieses problem verbeisst. man weiß es halt nicht, wie es wirklich war… wird auch jeder seine eigene sicht haben…. da hat es villani, den ich kurz vorher gelesen hatte, geschickter angefangen und das schreiben selbst in die hand genommen… es muss schon ein erlebnis sein, so einen mann wie wiles interviewen zu können. die frage, ob er an daran glaubt, daß fermat wirklich einen beweis hatte, hast du ihm wahrscheinlich nicht gestellt, oder? ;-)
      liebe grüße
      fs

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      1. Komme erst jetzt zum Antworten, sorry. Gleich zu deiner letzten Frage. Wiles ging/geht davon aus, dass Fermat allenfalls eine vage Vorstellung einer möglichen Lösung hatte, schon allein weil dafür nötige mathematische Beweisverfahren damals noch gar nicht bekannt waren. Wirklich lösen können hätte er das Problem nicht.
        Zu Cédric Villani: sein Buch kenne ich noch nicht; der ganze „Medienhype“ um ihn hat mich – ehrlich gesagt – mehr abgeschreckt als neugierig gemacht. Vielleicht ein Fehler?! Aber den könnte ich ja korrigieren.

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        1. villanis buch ist schon interessant, auf jeden fall. ungeachtet der hype, die darum gemacht wurde. er ist als typ wohl deutlich offener anderen gegenüber und hat mit dem trubel wohl kaum probleme… es ist interessant, weil die praktischen probleme beider mathematiker meiner meinung nach recht ähnlich waren. sie hatten beide ein ziel vor augen, standen unter einen gewissen druck, hatten einen beweis, der sich dann als unvollständig erwies und mussten stressig nachbessern… aber die herangehensweise ist halt total unterschiedlich. villani hat tausend kontakte, mailverkehr, tagungen, etc pp… das läuft bei dem ganz anders… und auch das buch ist vom ansatz her gerade das gegenteil von singhs bericht: die mathematik, so villani, versteht eh keiner, also brech ich sie auch nicht auf irgendein niveau herunter. sollen die menschen über die schönheit der formeln staunen und einfach miterleben, wie mathematik funktioniert, wie sie gemacht wird…. summa summarum: die lektüre lohnt.
          herzliche grüße

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